Алексей Федорович Наумов родился 1 марта 1923 года в городе Ярославле в семье рабочего. Русский. В июне 1941 года окончил среднюю школу имени Подвойского в Ярославле (ныне средняя общеобразовательная школа № 6 имени Подвойского). В детстве очень любил футбол, также увлекался шахматами и художественной литературой.

В конце июня 1941 года у Алексея Наумова в школе состоялся выпускной вечер. А уже в июле 1941 года Красноперекопским районным военкоматом он был призван в Красную Армию и направлен в Челябинское танковое училище. В ноябре 1942 года, закончив по ускоренной программе училище, в звании лейтенанта прибыл в пункт формирования 91-й танковой бригады недалеко от города Горького (ныне Нижний Новгород). Здесь он получил назначение в 344-й танковый батальон командиром тяжелого танка «KB» с надписью «Тамбовский колхозник», подаренного тамбовскими колхозниками. После непродолжительной учебы бригаду под командованием полковника И.И. Якубовского направили на Донской фронт в состав 65-й армии.

А.Ф. Наумов принял участие в боях завершающего этапа Сталинградской битвы. 13-14 января 1943 года в составе экипажа уничтожил два танка противника, артиллерийскую батарею, четыре миномета, пять пулеметов, семь дзотов, пять автомашин, а также до 120 солдат и офицеров противника. В одном из боев танк был подбит. Под защитой артиллерийского и пулеметного огня танка А.Ф. Наумов и механик-водитель П.М. Смирнов быстро устранили неисправность и возвратились в танк, чтобы продолжать бой. Участник пяти танковых атак. За эти бои приказом командующего фронтом К.К. Рокоссовского А.Ф. Наумов и П.М. Смирнов были награждены орденом Красной Звезды, а члены экипажа младший сержант П.М. Норицын и радист Н.А. Вялых — медалями «За отвагу».

В январе 1943 года снабжение окруженных немецких войск в Сталинграде осуществлялось через последний оставшийся аэродром «Питомник». Для перекрытия этого канала снабжения генерал-лейтенант К. К.Рокоссовский ввел в бой 91-ю отдельную танковую бригаду полковника И.И. Якубовского. При подготовке атаки на «Питомник» танкистам 344-го танкового батальона было приказано овладеть высотой Безымянная и хутором Новая Надежда (Сталинградская область), лежавшими на подступах к немецкому аэродрому. 21 января 1943 года за пять часов беспрерывного боя экипажем тяжелого танка КВ лейтенанта А.Ф. Наумова было уничтожено 5 вражеских танков, 24 автомашины с пехотой, 19 пушек и минометов, 15 пулеметных точек противника, 5 дзотов, истреблено до сотни солдат и офицеров.

В ходе дальнейшего боя танк КВ-1 был подбит и окружен противником. Танкисты вместе с включенным в экипаж перед самым боем заряжающим орудия сержантом Ф.Г. Ганусом более пяти часов вели бой до последнего патрона. На предложение сдаться танкисты ответили: «Мы русские и фашистам в плен не сдаемся пока будем живы». Тогда немцы облили танк бензином и подожгли. Танкисты, погибая, пели «Интернационал». Весь экипаж погиб.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 сентября 1943 года «за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками» лейтенанту Наумову Алексею Фёдоровичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.

Похоронен на месте гибели, рядом с хутором Новая Надежда Городищенского района Городищенского района Волгоградской области. Над могилой танкистов установлен каменный монумент в исполнении скульптора А.В. Голованова, который запечатлел последние минуты героев-танкистов. Надпись на памятнике: «Великие подвиги ваши бессмертны. Слава о вас переживет века».

Приказом Министра обороны СССР от 23 апреля 1963 года имена членов экипажа были навечно зачислены в списки 1-й танковой роты танкового Фастовского орденов Ленина, Красного Знамени, Суворова и Богдана Хмельницкого полка.

В городе Ярославле, на улице, носящей имя А.Ф. Наумова, установлена мемориальная доска, у КПП зенитного училища — стела. Мемориальная плита с именем А.Ф. Наумова установлена на Мамаевом Кургане в Волгограде (фото). В Забайкальском военном округе в одном из военных городков на пьедестал был поднят танк, на башне которого выведена надпись «Наумовец».